静岡ラーメン放浪記

2007.10.13 Saturday

東京大学入試問題より

　古い話で恐縮だが、今年２００７年度の東京大学前期入試問題から。
文系数学で出題された問題のうちの一つを紹介します。

第２問
　ｒは0＜ｒ＜1をみたす実数、ｎは２以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件①、②をみたす２つの円で置き換える操作（Ｐ）を考える。

①　新しい２つの円の半径の比は　ｒ：1-ｒ　で、半径の和はもとの円の半径に等しい。
②　新しい２つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に２のｎ乗個の円を作る。

・最初に、平面上に半径１の円を描く。
・次に、この円に対して操作（Ｐ）を行い、２つの円を得る（これを１回目の操作という）。
・ｋ回目の操作で得られた２のｎ乗個のそれぞれについて、操作（Ｐ）を行い、２の（ｋ+1）乗個の円を得る（1＜ｋ＜ｎ-1）。

１　ｎ回目の操作で得られる２のｎ乗個の円の周の長さの和を求めよ。
２　２回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
３　ｎ回目の操作で得られる２のｎ乗個の円の面積の和を求めよ。

　いかがですか。
これ、難しく書いてありますが、１番だけなら知識としては「小学校程度」で解けます。
さすがに２番以後は高校課程ですが、それも根気があれば出来るでしょう。
秋の夜長に考えてみてはいかがでしょうか。