2007.10.13 Saturday
東京大学入試問題より
古い話で恐縮だが、今年２００７年度の東京大学前期入試問題から。
文系数学で出題された問題のうちの一つを紹介します。
第２問
ｒは0＜ｒ＜1をみたす実数、ｎは２以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件� ↓△鬚澆燭坑欧弔留澆巴屬�換える操作（Ｐ）を考える。
� ／靴靴ぃ欧弔留澆糧招造糧罎蓮。髻�1-ｒ で、半径の和はもとの円の半径に等しい。
�◆／靴靴ぃ欧弔留澆聾澆い乏粟椶掘△發箸留澆貌眄椶垢襦�
以下のようにして、平面上に２のｎ乗個の円を作る。
・最初に、平面上に半径１の円を描く。
・次に、この円に対して操作（Ｐ）を行い、２つの円を得る（これを１回目の操作という）。
・ｋ回目の操作で得られた２のｎ乗個のそれぞれについて、操作（Ｐ）を行い、２の（ｋ+1）乗個の円を得る（1＜ｋ＜ｎ-1）。
１ ｎ回目の操作で得られる２のｎ乗個の円の周の長さの和を求めよ。
２ ２回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
３ ｎ回目の操作で得られる２のｎ乗個の円の面積の和を求めよ。
いかがですか。
これ、難しく書いてありますが、１番だけなら知識としては「小学校程度」で解けます。
さすがに２番以後は高校課程ですが、それも根気があれば出来るでしょう。
秋の夜長に考えてみてはいかがでしょうか。
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